“如果有一种彩票能保证中奖，那它一定是‘完美彩票’吧？”这是许多彩民心中的幻想，但“完美彩票”究竟是什么？它有多少种可能？我们就从数学的角度,拆解这个看似简单却藏着组合学奥秘的问题。
先明确：什么是“完美彩票”？
要讨论“完美彩票有多少个”，首先要定义“完美”，在彩票语境中，“完美”至少有三种常见理解，每种对应的“数量”截然不同：
- “覆盖所有组合”的完美：即购买所有可能的号码组合，确保无论开奖结果如何，都能中一等奖。
- “覆盖特定奖级”的完美：用最少的彩票数量，保证任意开奖结果都能中某个特定奖级（如保底中五等奖）。
- “数学期望最优”的完美：通过策略调整，让长期购买彩票的期望收益最大化（尽管彩票本质是负期望游戏）。
第一种定义最直观，也最容易用数学计算；第二种涉及组合数学中的“覆盖设计”；第三种则需结合概率论与优化理论,我们重点讨论前两种。
“覆盖所有组合”的完美彩票：数量=所有可能号码组合数
最“绝对”的完美彩票，买尽所有可能”，以中国最常见的双色球为例：红球从33个号码中选6个，蓝球从16个号码中选1个，一等奖需同时匹配6个红球和1个蓝球。
它的总组合数 = 红球组合数 × 蓝球组合数 = C(33,6) × C(16,1)。
计算一下：C(33,6)=1107568（约110万），C(16,1)=16，所以双色球所有组合数=1107568×16=17721088（约1772万种）。
这意味着，双色球的“覆盖所有组合的完美彩票”有1772万种，如果每注2元，买尽所有组合需要花费3544万元——而一等奖奖金通常只有500万至1000万（需滚存才可能超过成本），显然“完美”却“不划算”。
再看简单例子：10选3的彩票（从1-10选3个号码为一注），一等奖需匹配3个号码，总组合数C(10,3)=120，完美彩票”有120种。
“覆盖特定奖级”的完美彩票：数量=覆盖设计中的“最小覆盖数”
现实中，没人会买尽所有组合，于是更实际的“完美”是“用最少的彩票保底中奖”，保证任意开奖结果至少中五等奖”（如中2个号码），这需要多少注彩票？
这就是组合数学中的“覆盖设计”问题：给定一组元素（彩票号码），找到最少的子集（彩票注数），使得每个可能的“目标子集”（开奖号码）至少被一个“子集”包含。
以10选3彩票为例，若目标是“保证任意3个开奖号码中至少有2个出现在某注彩票中”，我们需要计算“最小覆盖数”，根据覆盖设计理论，下界公式为：
[ \text{最小覆盖数} \geq \left\lceil \frac{C(v,t)}{C(k,t)} \right\rceil ]
其中v是总号码数（10），k是每注选号数（3），t是目标匹配数（2），代入得：
[ \left\lceil \frac{C(10,2)}{C(3,2)} \right\rceil = \left\lceil \frac{45}{3} \right\rceil = 15 ]
即至少需要15注
